Wie Resonanzen unsere Tonleitern und Akkorde erklären
Haben Sie sich schon gefragt, weshalb die Tonleitern in allen Musikkulturen, ob im Urwald, im Konzertsaal oder im Fussballstadion über genau eine Oktave gehen. Oder weshalb Kinder ohne Musikbildung den Dur-Dreiklang ganz spontan «schön» finden, überall auf der Welt?
Die Erklärung liegt in den Resonanzen. So sehr sich Musikkulturen unterscheiden, haben sie doch einen gemeinsamen Kern. Dieser besteht aus den Resonanzen, welche zwischen den Tönen der Tonleitern und Akkorden entstehen.
Mathematik und Physik in der Musik
Die klassische Musiktheorie weiss zwar, dass mathematische Brüche in den Intervallen stecken, doch sie erklärt nicht, wie die Brüche zustande kommen und was sie mit unserer Musikwahrnehmung zu tun haben.
Die Brüche stellen die Mathematik dar, doch hinter der Mathematik stecken physikalische Gründe. Schallwellen können sich bekanntlich gegenseitig verstärken oder stören. Diese physikalischen Verträglichkeiten lassen sich berechnen, wenn man die Tonhöhen der beteiligten Töne vergleicht. Eine einfache Regel erklärt, wie leicht die Mischung in Resonanz kommt, und was geschieht, wenn drei und mehr Töne beteiligt sind. Auf diese Weise lassen sich viele Eigenheiten der verschiedenen Tonleitern und Akkorde erklären.
Wir gehen dabei folgenden Fragen nach
- Weshalb gehen weltweit alle Tonleitern über eine Oktave?
- Weshalb sind auch reine Quinten und Quarten in praktisch allen Tonleitern vorhanden?
- Weshalb ist die Obertonreihe keine Tonleiter?
- Was ist die resonanteste Tonleiter und weshalb kommt sie in allen Kulturen vor? (Spoiler: es ist nicht die gewohnte Dur-Tonleiter, aber fast)
- Wie mischen sich drei und mehr Töne?
- Was sind die zehn resonantesten Intervalle innerhalb einer Oktave?
- Weshalb bilden diese zehn resonantesten Töne als zusammen keine sinnvolle Tonleiter?
- Was sind im Gegensatz dazu sinnvolle Tonleitern?
- Was hält die Töne der Dur-Tonleiter zusammen, was die Töne von Moll?
- Weshalb ist der Dur-Dreiklang so konsonant?
- Was ist der Leitton physikalisch? Was ist der Tritonus?
- Wie entstand die Einteilung der Oktave in 12 Töne?
- Wie funktionieren komplexe Akkorde, z.B. sogenannte Upper Structures?
Alle diese Fragen lassen sich mit der Physik der Schallwellen beantworten.
Intervalle, Frequenzen und Brüche
Wie kommt nun der Zusammenhang zwischen Mathematik und Physik in der style Harmonielehre zustande? Dazu schauen wir das wichtigste physikalische Charakteristikum eines Tons an, nämlich seine Frequenz, die seine Tonhöhe bestimmt. Als nächstes schauen wir an, wie zwei Töne mit ihren Frequenzen ein Intervall bilden, das mit einem Bruch definiert werden kann.
Schallwellen und Frequenzen
Ein Ton ist physikalisch eine Schallwelle. Eine Schallwelle ist eine Schwingung in der Luft oder in einem Gegenstand (Saiten), deren wichtigste Eigenschaft ihre Frequenz, d.h. die Zahl der Schwingungen pro Sekunden ist. So hat der Kammerton a› die Frequenz 440 Hz, der Kammerton schwingt also 440-mal pro Sekunde hin und her – auf der Saite, in der Luft, oder im Innenohr.
Intervalle und Brüche
Wenn zwei Töne gleichzeitig erklingen, stehen sie in einem Intervall zueinander. Sie mischen sie sich, je nachdem ihre Frequenzen zueinanderstehen, in einer ruhigeren oder angespannteren Weise. Das ist ein Effekt, den wir beim Hören wahrnehmen. Die Intervalle berechnen sich aus dem Verhältnis der Frequenzen zueinander. Dieses Verhältnis ist mathematisch ein Bruch f1 / f2, d.h. die Frequenz des höheren Tones wird durch die Frequenz des tieferen geteilt.
Rechenbeispiel für Intervalle
Das Berechnen der Intervalle ist sehr einfach.
- Wenn beide Töne gleich sind, dann ist f1 = f2 und der Bruch somit f2 / f2 = 1.
- Wenn die Frequenz f1 doppelt so schnell ist wie f2, dann ist:
f1 = 2xf2 und der Bruch 2xf2 / f2 = 2.
Beispiel:
a»: f1 = 880 Hz
a›: f2 = 440 Hz
à Intervall a»/a› = 880 / 440 = 2 - Wenn die Frequenz f1 kein genaues Vielfaches von f2 ist, dann ergibt das Intervall keine ganze Zahl mehr, sondern einen echten Bruch:
Beispiel:
e»: f1 = 660 Hz
a›: f2 = 440 Hz
à Intervall e»/a› = 660 / 440 = 3/2
Mit diesem Wissen können wir unsere Tonleitern und Akkorde einfach und stimmig erklären. Und falls die Rechnerei oben Sie abgeschreckt hat, weil Sie schliesslich Musiker sind und kein Mathematiker oder Buchhalter, kann ich Sie beruhigen: Mehr Mathematik als eben wird gar nicht nötig sein. Es handelt sich um einfaches Bruchrechnen mit sehr kleinen Zahlen, wie Sie es in der Grundschule gelernt haben.
Drei Grade von Resonanz
Die Resonanzen haben nun sehr viel mit diesen Intervallen und den sie charakterisierenden Brüchen zu tun.
Die drei Rechenbeispiele für Intervalle oben charakterisieren bereits die drei grundsätzlichen physikalischen Grade von Resonanz:
- Resonanz 1. Grades: Beide Frequenzen sind gleich
- Resonanz 2. Grades: Die höhere Frequenz schwingt mit einem ganzzahligen Vielfachen der tieferen.
- Resonanz 3. Grades: Die höhere Frequenz schwingt mit einm gebrochenen Vielfachen der tieferen.
Die Unterscheidung der drei Grade ist essentiell
Die oben dargestellte Unterscheidung der drei Grade der Resonanz bringt uns bei unserem Zeil der Erklärung der unterschiedlichen Tonleitern weiter:
- Resonanzen 1. Grades sind banal – alle kennen sie – aber sie sind auch die stärksten Resonanzen. Die mathematisch berechenbare und physikalisch begründbare Stärke der Resonanz wird uns bei den weiteren Überlegungen auch der anderen Graden begleiten.
- Resonanzen 2. Grades: Wenn der höhere Ton mit einem geradzahligen Vielfachen des tieferen schwingt, handelt es sich um einen Oberton. Zumischungen von Obertönen f1 = nx f2 zu einem Grundton f2 ergeben sich in der Regel natürlich bei allen schwingenden Objekten. Die Rechenregel f1 = n x f2 für Obertöne kann auch entsprechend sehr einfach physikalisch begründet werden.
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Grundschwingung und 1. und 2. Oberton Die konventionelle Harmonielehre basiert auf diesen Obertönen, doch dabei gibt es ein Problem: Je höher der Oberton, umso schwächer wird die natürliche Resonanz. Die höheren Obertöne wären aber nötig, um Tonleitern physikalisch zu begründen. Die konventionelle Erklärung der Tonleitern versagt hier.
Erklärung der Tonleitern versagt hier.
-> Die Obertonreihe ist keine Tonleiter - Resonanz 3. Grades: Eher unbekannt ist, dass auch ein ‹gebrochenes› Intervall sehr resonant sein kann, und in vielen und entscheidenden Fällen sogar stärker resonant ist als ein Oberton. Auch die Resonanz der ‹gebrochenen› Intervalle ist physikalisch einfach erklärbar. Es lässt auch in der Praxis sehr gut beobachten, wie gebrochene Intervalle perfekt resonant sind, auch wenn sie keine Obertöne sind. → Quintenexperiment
Es ist nun diese Resonanz 3. Grades, die verantwortlich ist für unsere Tonleitern und Akkorde. Sie erklärt, welche Intervalle besonders resonant sind, wie mehrere Töne sich mischen und wie die von uns wahrnehmbare Charakteristika der Tonleitern und Akkorde entstehen. Mehr dazu in den folgenden Beiträgen.
Dies ist ein Beitrag zum Thema Tonleitern.
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