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Künstliche Intelligenz, Logik

Zur KI: Schnaps und Panzer

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KI im letzten Jahrhundert

KI ist heute ein grosses Schlagwort, war aber bereits in den 80er und 90er Jahren des letzten Jahrhunderts ein Thema, das für mich auf meinem Gebiet des Natural Language Processing interessant war. Es gab damals zwei Methoden, die gelegentlich als KI bezeichnet wurden und die unterschiedlicher nicht hätten sein können. Das Spannende daran ist, dass diese beiden unterschiedlichen Methoden heute noch existieren und sich weiterhin essenziell voneinander unterscheiden.

KI-1: Schnaps

Die erste, d.h. die Methode, die bereits die allerersten Computerpioniere verwendeten, war eine rein algorithmische, d.h. eine regelbasierte. Beispielhaft für diese Art Regelsysteme sind die Syllogismen des Aristoteles:

Prämisse 1: Alle Menschen sind sterblich.
Prämisse 2: Sokrates ist ein Mensch.
Schlussfolgerung: Sokrates ist sterblich.

Der Experte gibt Prämisse 1 und 2 ein, und das System zieht dann selbstständig die Schlussfolgerung. Solche Systeme lassen sich mathematisch untermauern. Mengenlehre und First-Order-Logic (Aussagelogik ersten Grades) gelten oft als sichere mathematische Grundlage. Theoretisch waren diese Systeme somit wasserdicht abgesichert. In der Praxis sah die Geschichte allerdings etwas anders aus. Probleme ergaben sich durch die Tatsache, dass auch die kleinsten Details in das Regelsystem aufgenommen werden mussten, da sonst das Gesamtsystem «abstürzte», d.h. total abstruse Schlüsse zog. Die Korrektur dieser Details nahm mit der Grösse des abgedeckten Wissens überproportional zu. Die Systeme funktionierten allenfalls für kleine Spezialgebiete, für die klare Regeln gefunden werden konnten, für ausgedehntere Gebiete wurden die Regelbasen aber zu gross und waren nicht mehr wartbar. Ein weiteres gravierendes Problem war die Unschärfe, die vielen Ausdrücken eigen ist, und die mit solchen hart-kodierten Systemen schwer in den Griff zu bekommen ist.

Diese Art KI geriet also zunehmend in die Kritik. Kolportiert wurde z.B. folgender Übersetzungsversuch: Ein NLP-Programm übersetzte Sätze vom Englischen ins Russische und wieder zurück, dabei ergab die Eingabe:
«Das Fleisch ist willig, aber der Geist ist schwach» die Übersetzung:
«Das Steak ist kräftig, aber der Schnaps ist lahm.»

Die Geschichte hat sich vermutlich nicht genau so zugetragen, aber das Beispiel zeigt die Schwierigkeiten, wenn man versucht, Sprache mit regelbasierten Systemen einzufangen. Die Anfangseuphorie, die seit den 50er Jahren mit dem «Elektronenhirn» und seiner «maschinellen Intelligenz» verbunden worden war, verblasste, der Ausdruck «Künstliche Intelligenz» wurde obsolet und durch den Ausdruck «Expertensystem» ersetzt, der weniger hochgestochen klang.

Später, d.h. um 2000, gewannen die Anhänger der regelbasierten KI allerdings wieder Auftrieb. Tim Berners-Lee, Pionier des WWW, lancierte zur besseren Benutzbarkeit des Internets die Initiative Semantic Web. Die Experten der regelbasierten KI, ausgebildet an den besten technischen Hochschulen der Welt, waren gern bereit, ihm dafür Wissensbasen zu bauen, die sie nun Ontologien nannten. Bei allem Respekt vor Berners-Lee und seinem Bestreben, Semantik ins Netz zu bringen, muss festgestellt werden, dass die Initiative Semantic Web nach bald 20 Jahren das Internet nicht wesentlich verändert hat. Meines Erachtens gibt es gute Gründe dafür: Die Methoden der klassischen mathematischen Logik sind zu rigid, die komplexen Vorgänge des Denkens nachzuvollziehen – mehr dazu in meinen anderen Beiträgen, insbesondere zur statischen und dynamischen Logik. Jedenfalls haben weder die klassischen regelbasierten Expertensysteme des 20. Jahrhunderts noch die Initiative «Semantic Web» die hoch gesteckten Erwartungen erfüllt.

KI-2: Panzer

In den 90er Jahren gab es aber durchaus auch schon Alternativen, die versuchten, die Schwächen der rigiden Aussagenlogik zu korrigieren. Dazu wurde das mathematische Instrumentarium erweitert.

Ein solcher Versuch war die Fuzzy Logic. Eine Aussage oder eine Schlussfolgerung war nun nicht mehr eindeutig wahr oder falsch, sondern der Wahrheitsgehalt konnte gewichtet werden. Neben Mengenlehre und Prädikatenlogik hielt nun auch die Wahrscheinlichkeitstheorie Einzug ins mathematische Instrumentarium der Expertensysteme. Doch einige Probleme blieben: Wieder musste genau und aufwendig beschrieben werden, welche Regeln gelten. Die Fuzzy Logic gehört also ebenfalls zur regelbasierten KI, wenn auch mit Wahrscheinlichkeiten versehen. Heute funktionieren solche Programme in kleinen, wohlabgegrenzten technischen Nischen perfekt, haben aber darüberhinaus keine Bedeutung.

Eine andere Alternative waren damals die Neuronalen Netze. Sie galten als interessant, allerdings wurden ihre praktischen Anwendungen eher etwas belächelt. Folgende Geschichte wurde dazu herum

gereicht:

Die amerikanische Armee – seit jeher ein wesentlicher Treiber der Computertechnologie – soll ein neuronales Netz zur Erkennung von eigenen und fremden Panzern gebaut haben. Ein neuronales Netz funktioniert so, dass die Schlussfolgerungen über mehrere Schichten von Folgerungen vom System selber gefunden werden. Der Mensch muss also keine Regeln mehr eingeben, diese werden vom System selber erstellt.

Wie kann das System das? Es braucht dazu einen Lernkorpus. Bei der Panzererkennung war das eine Serie von Fotos von amerikanischen und russischen Panzern. Für jedes Foto war also bekannt, ob amerikanisch oder russisch, und das System wurde nun so lange trainiert, bis es die geforderten Zuordnungen selbstständig erstellten konnte. Die Experten nahmen auf das Programm nur indirekt Einfluss, indem sie den Lernkorpus aufbauten; das Programm stellte die Folgerungen im neuronalen Netz selbstständig zusammen – ohne dass die Experten genau wussten, aus welchen Details das System mit welchen Regeln welche Schlüsse zog. Nur das Resultat musste natürlich stimmen. Wenn das System nun den Lernkorpus vollkommen integriert hatte, konnte man es testen, indem man ihm einen neuen Input zeigte, z.B. ein neues Panzerfoto, und es wurde erwartet, dass es mit den aus dem Lernkorpus gefundenen Regeln das neue Bild korrekt zuordnete. Die Zuordnung geschah, wie gesagt, selbständig durch das System, ohne dass der Experte weiteren Einfluss nahm und ohne dass er genau wusste, wie im konkreten Fall die Schlüsse gezogen wurden.

Das funktionierte, so wurde erzählt, bei dem Panzererkennungsprogramm perfekt. So viele Fotos dem Programm auch gezeigt wurden, stets erfolgte die korrekte Zuordnung. Die Experten konnten selber kaum glauben, dass sie wirklich ein Programm mit einer hundertprozentigen Erkennungsrate erstellt hatten. Wie konnte so etwas sein? Schliesslich fanden sie den Grund: Die Fotos der amerikanischen Panzer waren in Farbe, diejenigen der russischen schwarzweiss. Das Programm musste also nur die Farbe erkennen, die Silhouetten der Panzer waren irrelevant.

Regelbasiert versus korpusbasiert

Die beiden Anekdoten zeigen, welche Probleme damals auf die regelbasierte und die korpusbasierte KI warteten.

  • Bei der regelbasierten KI waren es:
    – die Rigidität der mathematischen Logik
    – die Unschärfe unserer Wörter
    – die Notwendigkeit, sehr grosse Wissenbasen aufzubauen
    – die Notwendigkeit, Fachexperten für die Wissensbasen einzusetzen
  • Bei der korpusbasierten KI waren es:
    – die Intransparenz der Schlussfolgerungs-Wege
    – die Notwendigkeit, einen sehr grossen und relevanten Lernkorpus aufzubauen

Ich hoffe, dass ich mit den beiden oben beschriebenen, zugegebenermassen etwas unfairen Beispielen den Charakter und die Wirkweise der beiden KI-Typen habe darstellen können, mitsamt den Schwächen, die die beiden Typen jeweils kennzeichnen.

Die Herausforderungen bestehen selbstverständlich weiterhin.  In den folgenden Beiträgen werde ich darstellen, wie die beiden KI-Typen darauf reagiert haben und wo bei den beiden Systemen nun wirklich die Intelligenz sitzt. Als Erstes schauen wir die korpusbasierte KI an.

Dies ist ein Beitrag zum Thema künstliche Intelligenz.

Logik

Logodynamik

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Wozu dient Logik?

Geht es bei Logik ums Denken? Das dachte ich jedenfalls früher. Logik sei quasi die «Lehre vom Denken» oder gar die «Lehre vom richtigen Denken». Beim näheren Blick aber zeigt sich, dass es bei dem, was als Logik bezeichnet und studiert wird, nicht ums Denken, sondern ums Beweisen geht. Die klassische Logik ist in der Tat eine Wissenschaft des Beweisens.

Denken ist aber weit mehr als Beweisen. Man muss die Beweise erst finden. Dann muss man die Beweise im Kontext bewerten. Der Kontext kann ändern. Was mache ich mit Widersprüchen? Meines Erachtens sollte Logik untersuchen, wie wir uns ganz allgemein den Fragen des richtigen Denkens stellen und mehr sein als nur eine Wissenschaft des Beweisens. Wie aber gelangen wir zu einer solchen erweiterten Logik?

Der entscheidende Schritt war für mich die Erkenntnis, dass es eine statische und eine dynamische Logik gibt. Erst wenn wir wagen, den sicheren Garten der statischen Logik zu verlassen, können wir anfangen, das wirkliche Denken zu untersuchen.

Klassische Logik = Logostatik

Die klassische Logik prägte das abendländische Geistesleben über zwei Jahrtausende lang – angefangen bei den Syllogismen des Aristoteles über die Scholastik des Mittelalters mit den Lehren des Thomas von Aquin bis hin zur heute noch aktuellen Prädikatenlogik ersten Grades (FOL = First Order Logic) der Mathematiker. Diese Logiken sind genuin statisch. Bei ihnen hat jede Aussage einen allgemein gültigen, absoluten Wahrheitswert; die Aussage ist entweder wahr oder falsch – und das darf sich nicht ändern. Mit anderen Worten: Das logische Gebäude ist statisch. Die Mathematiker nennen eine solche Logik monoton.

Logodynamik

Während Widersprüche in einem klassischen logischen System nicht geduldet werden können, bilden sie in einem dynamischen System entscheidende Elemente im Netzwerk der Aussagen. Genauso wie sie es in unserem Denken tun. Widersprüche sind nämlich nichts anderes als Ausgangspunkte für unser Denken. Schliesslich zwingen uns Widersprüche, z.B. Beobachtungen die nicht zueinander passen, die Dinge genauer anzusehen. Wenn Aussagen einander widersprechen, wollen wir darüber nachdenken, was gilt. Widersprüche, in klassischer Logik verboten, sind in dynamischer Logik der eigentliche Ausgangspunkt des Denkens. Genauso wie in der Physik eine elektrische Spannung z.B. die Energie für den Strom liefert, so bildet für die Logik ein Widerspruch die Spannung, um weiter zu denken.

Weiterdenken heisst aber auch immer, offen zu sein für ganz neue Aussagen. Auch darin unterscheidet sich Logodynamik von klassischer Logik. Letztere definiert zuerst ihre «Welt», das heisst alle Elemente, die später, bzw. überhaupt verwendet werden dürfen. Das System muss geschlossen sein. Die klassische Logik verlangt eine klare Grenzziehung um die Welt eines Aussagensystems, und zwar bevor Schlüsse gezogen (gedacht) werden kann. Unser Denken ist aber keinesfalls geschlossen. Wir können immer neue Objekte einbeziehen, neue Differenzierungen für bekannte Objekte austesten, neue Gründe finden, Gründe neu bewerten usw. Mit anderen Worten: Wir lernen. Deshalb muss ein Logiksystem, das sich der Art, wie Menschen denken annähert, prinzipiell offen sein.

In einem klassischen logischen System gibt es keine Zeit. Alles was gilt, gilt immer. In einem logodynamischen System ist das prinzipiell anders. Was heute als wahr angesehen wird, kann morgen als Irrtum erkannt werden. Ohne diese Möglichkeit gibt es kein Lernen. Das logodynamische System erkennt die Zeit als notwendiges und internes Element an. Das greift ganz tief in den logischen Mechanismus ein, quasi in den «Grundschalter» der Logik, nämlich in das IF-THEN. Das IF-THEN der dynamischen Logik hat nämlich prinzipiell (immer) einen Zeitbezug: Das IF ist stets vor dem THEN.

Ein statisches System könnte die Zeit höchstens als Objekt seiner Betrachtung erkennen, quasi als eine seiner Variablen, nicht aber als etwas, was mit seinem eigenen Funktionieren zu tun hat.

Somit unterscheidet sich ein logodynamisches von einem logostatischen System durch folgende drei Eigenschaften:

  1. Non-Monotonie: Widersprüche im System sind erlaubt.
  2. Offenheit: Jederzeit können neue Elemente im System auftauchen.
  3. Systeminterne Zeit: Zwischen IF und THEN vergeht Zeit.
Information, Logik

IF-THEN / statisch oder dynamisch?

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Zwei Typen von IF-THEN

Viele glauben, dass das IF-THEN in der Logik eine klare Sache sei. Meiner Ansicht nach wird dabei aber oft übersehen, dass es vom IF-THEN zwei verschiedene Typen gibt. Der Unterschied zwischen den beiden besteht darin, ob das IF-THEN eine interne zeitliche Komponente besitzt oder nicht.

Dynamisches (reales) IF-THEN

Für viele von uns ist das IF-THEN dynamisch, d.h. es besitzt eine spürbare zeitliche Komponente. Bevor wir zum Schluss, d.h. zum THEN gelangen, schauen wir das IF genau an, d.h. die Bedingung, die anschliessend den Schluss erlaubt. Mit anderen Worten: Die Bedingung wird ZUERST angesehen, DANN kommt der Schluss

Das ist nicht nur im menschlichen Denken, sondern auch bei Computerprogrammen so. Computer erlauben die Kontrolle von ausgedehnten und komplexen Bedingungen (IFs). Diese müssen durch den Prozessor des Rechners im Memory abgelesen werden. Vielleicht müssen noch kleinere Berechnungen durchgeführt werden, die in den IF-Statements enthalten sind, und die Resultate der Berechnungen müssen dann mit den verlangten IF-Bedingungen verglichen werden. Natürlich brauchen die Abfragen Zeit. Auch wenn der Computer sehr schnell ist, und die Zeit, die für die Kontrolle des IFs benötigt wird, minimal ist, ist sie trotzdem messbar. Erst NACH der Kontrolle, kann der in der Computersprache formulierte Schluss, das THEN, ausgeführt werden.

Im menschlichen Denken, wie auch bei der Ausführung eines Computerprogramms, sind also das IF und das THEN zeitlich eindeutig getrennt. Das wird Sie nicht erstaunen, denn beides, der Ablauf des Computerprogramms wie das menschliche Denken sind reale Vorgänge, sie laufen in der realen, physischen Welt ab, und in dieser benötigen alle Prozesse Zeit.

Statisches (ideales) IF-THEN

Etwas mehr erstaunen wird Sie vielleicht, dass in der klassischen mathematischen Logik, das IF-THEN keine Zeit braucht. Das IF und das THEN bestehen simultan. Wenn das IF wahr ist, ist automatisch und sofort das THEN wahr. Eigentlich ist es sogar falsch, von vorher und nachher zu sprechen, da Aussagen in der klassischen mathematischen Logik immer ausserhalb der Zeit stehen. Wenn eine Aussage wahr ist, ist sie immer wahr, wenn sie falsch ist, ist sie immer falsch (=Monotonie, siehe vorhergehende Beiträge).

Das mathematische IF-THEN wird oft mit Venn-Diagrammen (Mengen-Diagrammen) erläutert. In diesen Visualisierungen ist das IF z.B. durch eine Menge repräsentiert, die eine Teilmenge der Menge des THEN ist. Es handelt sich für die Mathematiker beim IF-THEN um eine Relation, die vollständig aus der Mengenlehre abgeleitet werden kann. Dabei geht es um (unveränderbare) Zustände von Wahr oder Falsch, und nicht um Prozesse, wie beim Denken in einem menschlichen Hirn oder beim Ablauf eines Computerprogramms.

Wir können also unterscheiden
  • Statisches IF-THEN:
    In Idealsituationen, d.h. in der Mathematik und in der klassischen mathematischen Logik.
  • Dynamisches IF-THEN:
    In Realsituation, d.h. in real ablaufenden Computerprogrammen und im menschlichen Hirn.
Dynamische Logik verwendet das dynamische IF-THEN

Wenn wir eine Logik suchen, die der menschlichen Denksituation entspricht, dann dürfen wir uns nicht auf das ideale, d.h. das statische IF-THEN beschränken. Das dynamische IF-THEN entspricht dem normalen Denkvorgang besser. Die dynamische Logik, für die ich plädiere, respektiert die Zeit und braucht das natürliche, d.h. das dynamische, das reale IF-THEN.

Wenn Zeit eine Rolle spielt, und nach dem ersten Schluss die Welt anders aussehen kann als vorher, kommt es darauf an, welcher Schluss zuerst gezogen wird. Man kann nicht beide gleichzeitig ziehen – ausser man lässt zwei gleichzeitig ablaufende Prozesse zu. Die beiden parallel laufenden Prozesse können sich aber gegenseitig beeinflussen, was die Sache natürlich auch nicht einfacher macht. Die dynamische Logik ist aus diesem und vielen anderen Gründen wesentlich komplexer als die statische. Umso nötiger brauchen wir, um die Sache in den Griff zu bekommen, einen klaren Formalismus.

Statisches und dynamisches IF-THEN nebeneinander

Die beiden Arten des IF-THENs widersprechen sich nicht, sondern ergänzen sich und können durchaus koexistieren. So beschreibt das klassische, statische IF-THEN logische Zustände, die in sich geschlossen sind, und das dynamische beschreibt logische Vorgänge, die von einem logischen Zustand zum anderen führen.

Dieses Zusammenspiel von Statik und Dynamik ist vergleichbar mit dem Zusammenspiel von Statik und Dynamik in der Physik, z.B. mit der Statik und Dynamik in der Mechanik oder der Elektrostatik und der Elektrodynamik in der Elektrizitätslehre. Auch dort beschreibt der jeweils statische Teil die Zustände (ohne Zeit) und der dynamische die Änderung der Zustände (mit Zeit).

Dies ist ein Beitrag zur dynamischen Logik. Er wird fortgesetzt mit der Frage, was passiert, wenn zwei dynamische IF-THENs miteinander konkurrieren.

Logik

Non-Monotonic Reasoning (NMR)

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Begriffsmoleküle und NMR

Im Beitrag Zwei Arten von Codierung 1 habe ich die Aufgabe beschrieben, Computer die beeindruckende Vielfalt der medizinischen Diagnosen «verstehen» zu lassen. Dazu war es  nötig, die unterschiedlichen Diagnoseformulierungen beim Lesen durch den Computer in eine einheitliche Form zu überführen, welche alle semantischen Details in leicht abrufbarer Form repräsentiert.

Mit den Begriffsmolekülen ist uns das erfolgreich gelungen. Dabei halfen uns zwei Eigenschaften der Methode der Begriffsmoleküle, nämlich a) die konsequent komposite Repräsentation der Semantik, sowie b) ein Reasoner auf nicht-monotoner Basis. Die Verwendung eines nicht-monotonen Reasoners war damals überhaupt nicht im Trend. Die meisten Forschungsgruppen im Bereich der medizinischen Computerlinguistik waren gerade dabei, von der First-Order-Logic (FOL) auf Description Logic (DL) umzusteigen und glaubten, dass komplexe Semantiken am besten mit Hilfe von DL durch einen Computer interpretiert werden. In der Praxis allerdings zeigte sich, dass wir als kleine private Forschungsfirma ohne staatliche Unterstützung die erfolgreicheren waren. Wir setzten auf eine nicht-monotone Methode, während die anerkannte Lehrmeinung mit FOL und DL auf eine monotone Methode setzte.

Was ist monotone Logik?

Monotonie bedeutet in der Logik, dass durch Schlüsse gewonnene Aussagen ihren Wahrheitsgehalt nicht ändern, auch wenn neue Aussagen dazu kommen, die ihnen widersprechen. Was also im System als wahr erkannt wurde, bleibt wahr, was als falsch erkannt wurde, bleibt falsch. Nicht-Monotonie bedeutet umgekehrt, dass durch das System gezogene Schlüsse auch wieder in Frage gestellt werden können.

Was ist das Problem bei der Nicht-Monotonie?

Man muss sich im Klaren sein, dass Beweise nur in einem monotonen System möglich sind. In einem nicht-monotonen weiss man nie, ob nicht irgendwoher ein Argument kommt, das zu ganz anderen Schlüssen führt. Da Beweise z.B. in der Mathematik essentiell sind, ist es einleuchtend, dass die mathematische Logik ganz klar auf Monotonie setzt. 

Natürlich geht es bei der Computerlinguistik nicht um Beweise, sondern um korrekte Zuordnungen von Wörtern zu Begriffen. Der Vorteil, Beweise führen zu können, so wichtig er für die Mathematik ist, spielt für unsere Aufgabe keine Rolle.

Was ist das Problem bei der Monotonie?

Ein System, das seine Aussagen nicht verändern kann, ist nicht in der Lage, wirklich zu lernen. So funktioniert z.B. das menschliche Hirn mit Sicherheit nicht-monoton.

Ein monotones System muss auch geschlossen sein. In der Praxis sind wissenschaftliche Ontologien natürlich nicht geschlossen, sondern wachsen mit dem Erkenntnisfortschritt. Das gleiche Fortschreiten zeigt sich bei der Entwicklung eines Interpretationsprogramms. Auch hier gibt es eine kontinuierliche Verbesserung und Erweiterung, was monotone Systeme vor Probleme stellt.

Monotone Systeme können zudem mit Ausnahmen nicht so einfach umgehen. Jede Regel hat bekanntlich Ausnahmen und ein nicht-monotones System kann damit wesentlich gezielter und einfacher umgehen.

Nicht-Monotonie in der Praxis

Wenn man regelbasierte Systeme vergleicht, sind m.E. für unsere Aufgaben nicht-monotone den monotonen eindeutig vorzuziehen. Zwar ist die Nicht-Monotonie kein leichtes Pflaster und weist einige Fallen und Knacknüsse auf, doch die einfache Modellierbarkeit auch von detailreichen und komplexen Gebieten spricht für das nicht-monotone Reasoning.

Logik

Selbstreferentialität 2 (Paradoxie)

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(Fortsetzung von „Selbstreferentialität 1“)

Anweisung zur Generierung von Paradoxien

Der Trick mit dem sich klassische logische Systeme sprengen lassen besteht aus zwei Anweisungen:

1: Eine Aussage beziehe sich auf sich selber.
2: Im Bezug oder in der Aussage gibt es eine Verneinung.

Durch diese Konstellation entsteht immer eine Paradoxie.

Ein berühmtes Beispiel dafür ist der Barbier, der alle Männer des Dorfes rasiert, ausser natürlich diejenigen, die sich selber rasieren (die haben es ja nicht nötig). Die formale Paradoxie entsteht durch die Frage, ob dieser Barbier sich selber rasiert. Falls er es tut, gehört er zu den Männern, die sich selber rasieren, und diese rasiert er wie gesagt nicht. Also rasiert er sich nicht. Somit gehört er zu den Männern, die sich nicht selber rasieren – und diese rasiert er.

Auf diese Weise wechselt der Wahrheitsgehalt der Aussage, ob er sich selber rasiert, dauernd zwischen WAHR und FALSCH hin und hier. Diese Oszillation ist typisch für alle echten Paradoxien, so z.B. auch für den lügenden Kreter oder den formalen Beweis in Gödels Unvollständigkeitssatz, auch dort oszilliert der Wahrheitsgehalt einer Aussage kontinuierlich zwischen wahr und falsch und ist somit nicht entscheidbar. Im Barbierbeispiel sind neben der typischen Oszillation auch klar die oben erwähnten beiden Bedingungen für die echte Paradoxie erkennbar:

1. Selbstreferentialität: Rasiert er SICH SELBER?
2. Verneinung: Er rasiert sich selber rasierende Männer NICHT.

An dieser Stelle kann auf Spencer-Brown verwiesen werden, der einen Kalkül entwickelt hat, mit dem sich diese Verhältnisse klar zeigen lassen. Der Kalkül wird in seinem Text „Laws of Form“ dargestellt. Wer sich dafür interessiert, dem sei das Buch „Die Form der Paradoxie“ von Felix Lau empfohlen, das nicht nur den Kalkül für uns Laien nachvollziehbar macht, sondern sich auch sehr intensiv mit den Konsequenzen dieser Art Paradoxie beschäftigt.

Unechte Paradoxien

Diesen „klassischen“ Paradoxien möchte die „unechten“ Paradoxien gegenüberstellen, z.B. die „Paradoxie“ von Achilles und der Schildkröte. Hier handelt es sich nicht um echtes logisches Problem wie beim Barbier, sondern um den Fehler eines inadäquat gewählten Modells. Die Zeiten und Strecken, die die beiden Konkurrenten rennen, werden nämlich immer kürzer und nähern sich einem Wert, der innerhalb des gewählten Modells nicht überschritten werden kann. Somit kann Achilles die Schildkröte im Modell nicht überholen. In der Realität besteht aber kein Grund, dass die Zeiten und Strecken derart verzerrt und nicht linear betrachtet werden.

Die Unmöglichkeit zu überholen, besteht nur im Modell, das auf eine raffinierte Weise falsch gewählt ist. Ein Messsystem, das auf diese Weise verfälscht, ist natürlich nicht zulässig. Es handelt sich in Wirklichkeit nur um eine perfide Modellwahl, nicht um eine wirkliche Paradoxie. Entsprechend sind die beiden Kriterien für echte Paradoxa auch nicht vorhanden.

Modellwahl

Das Beispiel von Achilles und der Schildkröte zeigt die Bedeutung der korrekten Modellwahl. Die Modellwahl findet stets ausserhalb der Darstellung der Lösung statt und ist nicht Gegenstand eines logischen Beweises. Die Modellwahl hat vielmehr mit dem Bezug der Logik zur Realität zu tun. Sie findet auf einer übergeordneten Metaebene statt.

Mein Postulat ist es nun, dass zum Gebiet der Logik unbedingt auch die Modellwahl und nicht nur das Kalkül innerhalb des Modells gehört. Wie wählen wir ein Modell? Wenn Logik die Lehre vom richtigen Denken ist, dann muss diese Frage von der Logik mit behandelt werden.

Rolle der Metaebene für Modellwahl und Paradoxie

Das Zusammenwirken von zwei Ebenen, nämlich einer betrachteten Ebene und einer übergeordneten, betrachtenden Metaebene spielt nicht nur bei der Modellwahl, welche stets auf der Metaebene stattfindet, eine Rolle, sondern auch in der Form der echten Paradoxie. Die Selbstreferentialität in der echten Paradoxie führt nämlich unweigerliche die beiden Ebenen ein.

Eine Aussage, die sich auf sich selber bezieht, existiert zweimal, einmal auf der betrachteten Ebene, auf der sie quasi das „Objekt“ ist, das andere Mal auf der Metaebene, auf der sie sich auf sich selber bezieht. Die Oszillation der Paradoxie entsteht durch einen „Loop“, d.h. durch einen Kreisprozess zwischen den beiden Ebenen, dem das logische System nicht entrinnen kann.

Oszillierender Loop der Paradoxie, Selbstreferentialität und „Metasprung“

Es gibt übrigens zwei Arten solcher Loops, wie Felix Lau in seinem Buch aufzeigt: – eine negative (mit Verneinung), die zur Paradoxie führt – eine positive (mit Bestätigung), die zu einer Tautologie führt. Mit anderen Worten: Selbstreferentialität in logischen Systemen ist immer gefährlich! Es lohnt sich, zur Vermeidung, bzw. zur korrekten Behandlung von Paradoxien in logische Systeme den „Metasprung“ einzuführen – dieser ist der Bezug zwischen der betrachteten Ebene und der betrachtenden Metaebene.

Logik

Selbstreferentialität 1

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Vor 20 Jahren las ich fasziniert Douglas Hofstadters Kultbuch „Gödel-Escher-Bach“. Zentral darin ist Gödels Unvollständigkeitssatz. Dieser Satz zeigt eine (die?) Grenze für die klassische mathematische Logik auf, und Gödel bewies sie 1931 zusammen mit der Tatsache, dass sie prinzipiell für alle klassischen mathematischen Systeme unüberwindbar ist.

Das ist schon erstaunlich – insbesondere, da wir als Kinder der Aufklärung und überzeugte Jünger der Ratio nichts für stabiler und sicherer ansehen als die Gesetze der Mathematik.

Hofstadters Buch hat jedenfalls einen enormen Eindruck auf mich ausgeübt. Allerdings hatte ich an gewissen Stellen, z.B. beim Thema der „Kodierung“ von Information den Eindruck, dass hier bestimmte Aspekte durch den Autor sehr vereinfacht werden. Bei einem Erkennungsvorgang bei dem Information aufgenommen wird, spielt m.E. die Art des Einbaus in das interpretierende System eine grosse Rolle. Das einbauende System ist dabei durchaus aktiv und entscheidet mit. Eine Information ist vor und nach dem Einbau nicht genau dieselbe. Hat hier der Interpret, d.h. das aufnehmende (kodierende) System keinen Einfluss? Und wenn doch, welchen?

Zusätzlich erschien mir der Aspekt der „Zeit“ nicht genügend berücksichtigt, Informationsverarbeitung findet in der realen Welt jedenfalls immer innerhalb einer gewissen Zeit statt. Dabei gibt es ein Vorher und ein Nachher und ein aufnehmendes System wird dadurch auch verändert. Zeit und Information sind m.E. untrennbar miteinander verbunden, hier schien mir Hofstadter etwas zu verpassen.

Meine Rezeption von Hofstadter wurde weiter herausgefordert durch Hofstadters Einordnung als Vertreter der „starken KI“. Die „starke KI“-Hypothese besagt, dass menschliches Denken, ja menschliches Bewusstsein, durch Computer auf Basis von mathematischer Logik simuliert werden könne, eine Hypothese, die mir damals – und auch heute – reichlich gewagt erscheint.

Roger Penrose soll zu seinem Buch „Emperor´s New Mind“ durch eine BBC-Sendung provoziert worden sein, in der Hofstadter, Dennett und andere begeistert die starke KI-These vertreten haben, die Penrose offensichtlich nicht teilen mag. Ich wie gesagt auch nicht.

Aber natürlich sind Frontlinien nie so einfach. Obwohl ich sicher nicht auf der Seite der starken KI stehe, bleibt mir Hofstadters Vermittlung von Gödels Unvollständigkeitssatz als einer zentralen Erkenntnis der Wissenschaft des 20. Jahrhunderts doch unvergesslich. Mit Begeisterung las ich auch das Interview mit Hofstadter, das diesen Frühling im Spiegel erschien (DER SPIEGEL 18/2014: „Sprache ist alles“). Darin postuliert er u.a. dafür, dass Analogien im Denken von Wissenschaftlern entscheidend seien und er grenzt seine Interessen von denen der profitorientierten IT-Industrie ab. Gedanken, denen man sich sehr wohl anschliessen mag.

Doch zurück zu Gödel. Was ist – in Laiensprache – der Trick in Gödels Unvollständigkeitssatz?

Der Trick besteht darin, einen Satz, eine logische Aussage …

1. auf sich selber zu beziehen
2. sie dann zu verneinen.

Das ist der ganze Trick. Mit dieser Kombination lässt sich jedes klassische formale System sprengen.

Ich fürchte, ich muss dies näher erläutern …

(→ „Selbstreferentialität 2“)